જો intlimits_0^1 frac{ln x}{sqrt{1 - x^2}} dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o

Vedclass · Accepted Answer

$1/2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o 1, 	heta 	o \pi/2$. $I = \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. હવે જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો: $J = \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$. ગુણધર્મ $\int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos x) dx$. $2J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos^2 x) dx = \int\limits_0^\pi \ln(\sin^2 x) dx = 2 \int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx$. કારણ કે $\int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = -\pi \ln 2$,તેથી $2J = 2(-\pi \ln 2) = -2\pi \ln 2$,એટલે કે $J = -\pi \ln 2$. $I = kJ$ ને સરખાવતા,$-\frac{\pi}{2} \ln 2 = k(-\pi \ln 2)$,જે આપણને $k = 1/2$ આપે છે.

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x=$

જો $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $n$ એ પૂર્ણાંક હોય,તો $S_{n+1} - S_n =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module